Matemātiskās patiesības ir mūžīgas

Pēteris Bankovskis: Dzirdēti tādi nostāsti: dažkārt skolēnu matemātikas olimpiādēs esot gadījies, ka, vērtējot rezultātus, komisijai pēkšņi nācies sastapties ar kādu jēdzienu vai risinājumu, kas līdz šim vispār nav bijis pazīstams matemātikā. Un tad kāds no vērtētājiem, kurš pats savulaik darbojies jūsu vadītā pulciņā, pēkšņi atskārtis, ka tas taču ir Andžāna izgudrots jēdziens. Vai tāda situācija patiešām iespējama?

Agnis Andžāns: Olimpiādē tā nu nevarētu būt noticis. Taču es rakstu arī grāmatas, tai skaitā mācību grāmatas, un šajās grāmatās jaunie termini ir rūpīgi izskaidroti. Bet olimpiādēs mēs no šiem terminiem, kuri ir apgrozībā varbūt kādus sešus, septiņus gadus, pat izvairāmies. Tomēr jāatceras, ka matemātika sastāv no visa, tai skaitā arī no terminoloģijas, un attīstās visas daļas. Nu, es jums pateikšu vienu piemēru, tas būs no ģeometrijas: ievilktās riņķa līnijas centrs — termins sastāv no četriem vārdiem. Es tā vietā iesaku lietot terminu “iecentrs” — tas, manuprāt, skaidri izsaka jēgu, un es to lietoju savās grāmatās. Olimpiādēs mēs pieturamies pie vecā apzīmējuma, bet ikdienas darbā skolnieks var lietot to terminu, kuru grib.

Bankovskis: Jūs tikko visai pārliecinošā tonī sacījāt, ka matemātika sastāv no visa. Tātad tā ir viss? Vai jūs uzskatāt, ka šis “viss” ir reducējams līdz matemātikai?

Andžāns: Nē, ne gluži tā. Cilvēce līdz šim ir atklājusi četrus veidus, kā izzināt pasauli. Viens no veidiem ir empīriskā metode, kas īstenībā ir pati pirmā metode, bet zinātniski formulēta Bēkona darbos. Empīriskās izziņas galvenais pārstāvis ir dabaszinātnes, kā fizika, ķīmija un tā tālāk. Otrs izziņas veids ir emocionālā izziņa. Tās pārstāvji ir literatūra, māksla, reliģija. Vai tad nav tā, ka cilvēks arī reliģiskā veidā izzina pasauli? Trešais izzināšanas veids...

Bankovskis: Pakavējoties pie reliģiskā — ir taču mistiķi, kuri apgalvo, ka viņu atklāsmes ir empīriskas...

Andžāns: Es tomēr to nesaistītu ar empīrisko izziņu. Šajā izziņas veidā eksperimentam ir jābūt atkārtojamam. Vai kādam var izdoties atkārtot sastapšanos ar brīnumu, atklāsmi? Diezin vai. Bet trešais izziņas veids ir racionālā izziņa, prāta darbība. Kā izziņas metode pirmoreiz tā strikti formulēta Dekarta darbos. Racionālās izziņas galvenais, spilgtākais un varenākais pārstāvis ir matemātika. Nu, un vēl ir ceturtais izziņas veids — izziņa caur modelēšanu. Tā ir attīstījusies galvenokārt 20. gadsimtā, saistībā ar skaitļošanas mašīnām. Matemātika kā viens no universālajiem izzināšanas veidiem tātad ir veids, kā var izzināt visu.

Bankovskis: Vai jūs piekristu tam, ka cilvēkus kā spriestspējīgas būtnes arī varētu pieskaitīt šiem izzināšanas veidiem, vienam dominējošs būtu tas izziņas veids, citam atkal — cits?

Andžāns: Var būt tā, ka cilvēkam viens izziņas veids ir mīļāks, un savu iedzimto īpašību vai prakses dēļ viņš var lietot vienu izziņas veidu daudz vairāk nekā citus.

Bankovskis: Es gan jautāju tādēļ, ka man šķiet — ļoti daudziem cilvēkiem matemātika savā dziļākajā būtībā nav pieejama.

Andžāns: Lūk, tam es nepiekrītu. Līdz kaut kādai pakāpei noteikti ir pieejama.

Bankovskis: Redziet nu, līdz kaut kādai...

Andžāns: Jebkurā gadījumā uz to visu vajag skatīties kā uz zirgu ar četrām kājām. Ja zirgam visas četras kājas ir veselas, tad viņš ir baigi labs. Ja viena ir kliba, nu, viņš jau lēnāk skries. Tā arī cilvēks, ja viņš pārvalda visus šos izziņas veidus, viņš pasaulē jūtas brīvi, ja viņš ir mazāk attīstīts, tad kādā sfērā viņam var būt zināmi ierobežojumi.

Bankovskis:Vai arī, ja kādā sfērā pārāk attīstīts, tad pārējie cieš!

Andžāns: Pārējie cieš. Bet jāatceras arī par kompensāciju. Nu, ja viens ir ārkārtīgi labi atīstīts, tad... Tāpat kā viena smadzeņu daļa var kompensēt citu trūkumus... Ja man ir paralizētas vienas šūnas, kas vada, teiksim, kreiso roku, vietā var stāties cita smadzeņu daļa. Tāpat es, piemēram, varu kompensēt savu atpalicību vienā jomā ar attīstību citā.

Bankovskis: Ja palasāmies grāmatas par matemātiķiem, kaut vai par Prinstonas universitāti, par slaveno RAND Corporation pēc Otrā pasaules kara, kur tika modelēti dažādi aukstā kara scenāriji, tad jāatzīst, ka dīvaiņu tur bija vairāk nekā vajadzīgs. Var pat uzmākties domas, kas tie matemātiķi par savādiem radījumiem! Daudzas viņu izdarības un reakcijas ir stipri citādas nekā “parastajiem” cilvēkiem. Kaut vai tas pats Džons Nešs, par kuru tagad uzņemta oskarotā filma Brīnišķīgais prāts. Vai tad viņš nepārsteidz ar to, ka kaut kādā, tā arī nevienam nesaprotamā veidā, spēja tikt galā vai vismaz sadzīvot ar nedziedināmo un noslēpumaini baismīgo šizofrēniju?

Andžāns: Es domāju, ka matemātiķi ir cilvēki tāpat kā visi cilvēki: ar tādām pašām tieksmēm, vēlmēm, cerībām, arī slimībām. Starp matemātiķiem jūs, protams, atradīsit cilvēkus ar vienu vai otru slimību. Un slimība, manuprāt, nav ne kauns, ne kas...

Bankovskis: Nav jau runa par kaunu. Runa ir par domāšanas veidiem, par to, kas izriet no tā, kā vienam vai citam cilvēkam smadzenēs darbojas tās, nu, neironu pārejas, vai. Par to, kāpēc vieni spēj rēķināt vienādojumus desmit dimensiju telpā, tā pat nebūtu saucama par telpu, bet Dievs vien zina, par ko, bet citi šādu “telpu” nespēj pat iztēloties.

Andžāns: Patiesībā jau to desmit dimensiju “telpu” iztēloties nespēj neviens, tā, kā mēs saprotam telpas iztēlošanos — ģeometriski. Tiem, kuri rēķina tos vienādojumus desmit dimensiju telpā, ir izveidots zināms modelis. Cik veiksmīgs ir tas modelis, ciktāl tas atbilst īstenībai, tik veiksmīga tad arī ir risināšana. Iespējams, mīts, ka starp matemātiķiem ir vairāk šizofrēniķu, izveidojies tāpēc, ka visa matemātika ir saistīta ar domāšanu, un, ja domāšana ir traucēta, visi to uzreiz redz. Bet tikpat labi var būt domāšanas traucējumi šoferim vai celtniekam, bet to nepamana.

Bankovskis: Kas tad galu galā matemātika ir? Fiziķis, piemēram, saka, ka tā viņam ir tikai instruments...

Andžāns: Manuprāt, es jau ļoti skaidri pateicu: matemātika ir viens no galvenajiem veidiem, kā cilvēce izzina pasauli.

Bankovskis: Nu, bet fiziķis, kurš saka, ka tikai instruments?

Andžāns: Labi, instruments. Fiziķim ir tādi instrumenti, ķīmiķim — tādi...

Bankovskis: Bet matemātiķim, kādi viņam ir instrumenti?

Andžāns: Tad jāsāk ar to, kā matemātika izzina pasauli. Matemātika izzina pasauli, galvenokārt veidojot matemātisku modeli. Tas ir numur viens. Un numur divi: matemātika izzina pasauli ar loģisku spriedumu palīdzību.

Bankovskis: Vai nav otrādi?

Andžāns: Kā tā — otrādi?

Bankovskis: Nu, vispirms loģiskie spriedumi un tad uz to bāzes — modeļi.

Andžāns: Ne tā, ne tā. Matemātiskos modeļus pēta ar loģisko spriedumu palīdzību. Galvenais loģisko spriedumu veids, ko matemātika izmanto, ir pierādījums. Ar to matemātika varbūt ievērojami atšķiras no citām zinātnēm.

Bankovskis: Gadu gadiem, divdesmit un vairāk gadu jūs nodarbojaties ar skolēnu apmācību, ar skolu matemātikas olimpiāžu organizēšanu, un esat vērojis gan tos, kuri aiziet uz olimpiādēm un tur gūst panākumus, gan tos, kuri līdz olimpiādēm tā arī nekad nenonāk. Lai kā arī nebūtu, skolēns ilgu laiku mācās: aritmētiku, ģeometriju, algebru atbilstoši laika gaitā mainīgām programmām. Un šķiet, ka, beidzot skolu, katrs ir iemantojis, kurš labāk, kurš sliktāk, matemātisko domāšanu. Bet paiet kādi gadi, varbūt pat pavisam nedaudz, un — čušš, balta lapa, cilvēks, ja nestrādā matemātikā, vairs neko no visa tā nezina. Kur paliek tas izziņas veids, tā zināšana? Vai tā pazūd pavisam, vai arī kaut kādā veidā organizē cilvēku visu viņa turpmāko mūžu?

Andžāns: Ir divas atšķirīgas lietas. Viena ir matemātikas specifiskās zināšanas. Tās, ja gadu gadiem netiek izmantotas, ja darbā nav vajadzīgas, aizmirstas. Skaidrs. Bet ir otrs — spriešanas veids un attieksme pret pasauli kopumā. Tas nu cilvēkam, kurš jau jaunības gados ir iegājis matemātikā dziļi iekšā, nepazūd. Ar ko tas galvenokārt ir raksturīgs? Vispirms, tā ir iekšēja ticība mūžīgām patiesībām. Matemātiskās patiesības ir mūžīgas.

Bankovskis: Reliģiskās arī, vismaz tā mēdz sacīt...

Andžāns: Nē, nav taisnība. Pirms trīs tūkstoš gadiem, nu labi, četriem tūkstošiem, es nezinu, vai pat ebrejiem bija izveidojusies monoteiskā reliģija. Vēl senāk vispār bija elkdievība un tā tālāk. Patlaban eksistē visai daudzas atšķirīgas reliģijas, turklāt ļoti izplatījies ir arī ateisms. Lai gan es pats varu skaidri pasacīt, ka Dievam ticu, tikpat labi cits var teikt, ka netic. Un nedz es varu pierādīt, ka Dievs ir, nedz viņš — ka nav. Tas ir ticības jautājums. Bet matemātika nav ticības jautājums. Patiesība ir patiesība neatkarīgi no laika, neatkarīgi no vietas un neatkarīgi no politiskās sistēmas.

Bankovskis: Bet vai tomēr nav jāuzdod jautājums par to, cik tālu matemātiskā patiesība ir patiesība? Vai tad kopš Einšteina vispārējās relativitātes teorijas neatbildamu jautājumu, nesasietu galu matemātikā nav, cik tik uziet?

Andžāns: Einšteina teorija ir fizikas teorija.

Bankovskis: Bet tie, kas tur visriņķī rēķināja, gan nebija fiziķi...

Andžāns: Nu, taisnību sakot, starp matemātiķi un teorētisko fiziķi ir grūti novilkt robežu. Tas cilvēks tikpat labi var ieskaitīties kā vienā, tā otrā vietā. Bet jautājums par to, cik daudz matemātisko teoriju var attiecināt uz vienu vai otru reālu pasaules lietu, tas ir pilnīgi kaut kas cits. Ja teorija ir dziļa, to varēs attiecināt uz vairākām pasaules daļām, ja mazāk dziļa, būs arī mazāk pielietojuma. Bet tais vietās, kur teorija atbildīs realitātei, tā būs patiesa vienmēr.

Bankovskis: Tikai tur, kur atbildīs?

Andžāns: Jā, tikai tur. Nu, kaut vai tā pati Eiklīda ģeometrija — par vienādmalu trīsstūriem un tā tālāk. Izrādās, ka tas ir ļoti labs modelis mūsu ikdienas dzīvei: ja attālumi nav pārāk lieli, ja ātrumi un masa nav pārāk lielas, tad tas, ko mēs redzam realitātē, ļoti, ļoti precīzi atbilst Eiklīda ģeometrijai. Citās vietās, kur ir citādi apstākļi nekā šeit, kur mēs dzīvojam — kur ir citādākas masas, citādāka telpas uzbūve, tur atbilstošāka būs cita matemātika.

Bankovskis: Nu, tās visas, no kurām ikdienas cilvēks nekad nekā nesaprot: Rīmaņa un vēl visādas ģeometrijas...

Andžāns: Jā, tur jau ir grūtāk saprast nekā Eiklīda ģeometrijā. Bet grūtāk galvenokārt tāpēc, ka ikdienā mēs redzam to citu, “parasto” pasauli ar tās matemātiku. Un mūsu intuīcija labi atbilst šai “parastajai” pasaulei.

Bankovskis: Labi, ikdienas apziņa samierinās ar to, ka dažādām pasaulēm var būt dažādas matemātikas. Bet ir visvisādi procesi tepat mūsu pasaulē: viļņi, klimatiskie procesi un vēl daudz kas, kur arī matemātisko aprēķinu gali paliek vaļā...

Andžāns: Nē, nekādi gali tur nepaliek. Ja nu vienīgi tādā ziņā, ka mūsdienu matemātika visus šos modeļus vēl nav spējīga aprakstīt. Tie ir pārāk sarežģīti, mēs neesam visu vēl sapratuši, lai varētu matemātiski modelēt. Bet jebkurā gadījumā šodien mēs varam matemātiski modelēt jau nesalīdzināmi vairāk nekā pirms četrdesmit, piecdesmit gadiem. Un šausmīgi daudz vairāk, nekā varējām pirms simt un vairāk gadiem.

Bankovskis: Vai tas tā noticis priekšstatu bagātināšanās, domāšanas intensificēšanās vai tehnisko iespēju dēļ?

Andžāns: Vispirms — ir radušies pilnīgi jauni jēdzieni. Tāpat kā fakts, ka matemātiska teorija, arī jēdziens ir liela bagātība. Lūk, ar vienu vārdu radām veselu priekšstatu sistēmu, un mums uzreiz ir skaidrs, par ko ir runa. Otrkārt, ir vesela virkne jaunu matemātisku metožu, un, treškārt, ir tehniskās iespējas, kas ļauj izmantot gan jaunās metodes, gan arī vecās metodes, kas principā bija zināmas, bet kuru pielietošanu kavēja veicamā darba apjoms — cilvēkam, ar roku rēķinot, būtu vajadzīgi gadi viena aprēķina izdarīšanai.

Bankovskis: Informātika, skaitļošanas tehnikas ieviešanās?

Andžāns: Jā, tā ir radījusi iespēju daudz efektīvāk izmantot vecās metodes. Un ieviest jaunas.

Bankovskis: Piemēram?

Andžāns: Nu..., ja agrāk prata rēķināt matemātiskās fizikas vienādojumus, kur visi koeficienti bija gludas funkcijas, nepārtrauktas funkcijas un tā tālāk, kas aprakstīja tādus procesus, kas risinās normālos apstākļos, ja tā var teikt — kur nekas īpašs nenotiek, nu, tad to aprēķināt mācēja. Bet ir visādas iepriekš neparedzētas situācijas, piemēram, asteroīda ielaušanās Saules sistēmā vai vīrusa iekļūšana šūnā, kad nosacījumi pēkšņi izmainās ļoti strauji. Un vienādojumā koeficienti vai funkcijas var būt jau daudz sarežģītāki nekā iepriekš. Agrāk šādus vienādojumus risināt neprata. Tagad ļoti daudzos gadījumos tos jau māk risināt. Respektīvi, mēs jau varam paredzēt, kā attīstīsies parādības, ko var aprakstīt ar šādiem vienādojumiem, agrāk mēs tur paredzēt nevarējām neko.

Bankovskis: Bet agrāk taču arī bija parādības, kuras nekā nevarēja matemātiski aprakstīt...

Andžāns: Jā, un tādas ir arī tagad...

Bankovskis: Brauna kustība, piemēram...

Andžāns: Brauna kustību varēja aprakstīt jau tad, kad mēs ar jums vēl nebijām dzimuši...

Bankovskis: Precīzi aprakstīt haotisku kustību?

Andžāns: Jautājums ir, ko nozīmē precīzi? Precīzi katru molekulu — nē, bet precīzi katru molekulu aprakstīt nemaz arī nav vajadzīgs. Ir vajadzīgs kopumā — kā uzvedīsies vairums molekulu.

Bankovskis: Mūs mācīja, ka uzvedas tā — haotiski kustas.

Andžāns: Bet haotiski, tas nenozīmē, ka nav likuma. Starp citu, Einšteina pirmais darbs 1905. gadā bija tieši par Brauna kustību. Var sacīt, ka haotiskās kustības teorija ir attīstījusies jau gandrīz simt gadu. Protams, visu jau mēs neprotam.

Bankovskis: Sabiedrības vairums, kas nav matemātiķi, tomēr šā vai tā kaut ko ir dzirdējuši par modeļiem, par haosa teorijas risinājumiem, par iespējamu to attiecināšanu uz sabiedriskajiem procesiem. Sadzīviskā domāšanā ir iespējams variants — rodas priekšstats, ka līdz ar zinātnisko iespēju un metožu pilnveidošanos haosā varēs ieviest kārtību.

Andžāns: Lai kārtība iestātos, vajag, lai cilvēki gribētu piemērot praksei tos secinājumus, ko zinātnieki viņiem pasaka. Redzam taču, ka eksistē daudzi jo daudzi mūsu pašu — cilvēku — pieņemti likumi. Ja tos visus ievērotu, kārtība būtu gandrīz vai absolūta. Nelaime ir tā, ka šos likumus neviens, labi, daudzi, nevēlas nedz ieviest, nedz ievērot.

Bankovskis: Varbūt haosa teorijas attiecinājumi uz sabiedrisko praksi varētu atbildēt uz jautājumu, kāpēc tā ir? Eksistē taču termodinamikas likumi, tos neviens neapšauba, to ietvaros viss notiek. Ja modelējot varētu noskaidrot, kādi tad ir tie īstie sabiedriskie likumi, kuru ietvaros viss notiek, tostarp arī pašu pieņemto likumu pārkāpšana? Es mēģinu vilkt uz to, vai matemātiķiem ir tāda vēlme...

Andžāns: ...izveidot sabiedrības matemātisko modeli?

Bankovskis: Tieši tā.

Andžāns: Principā tāds mērķis varētu būt, es pat domāju, ka ir cilvēki, kas ar to darbojas, ir vairākkārt cerēts, ka tā visas pasaules problēmas tiks atrisinātas, bet... Šo modeļu veidošana ir šausmīgi sarežģīta, mūsdienās tā ir tālu, tālu pāri matemātikas iespējām. Ir jāņem vērā tik daudzi faktori, kuru katra atsevišķi ietekme bieži vien nav skaidri zināma... Īstenībā vislielākās grūtības, manupārt, ir pat, lūk, kādā apstāklī: mēs kaut kā ļoti bieži uzskatām, ka cilvēks rīkojas un spriež kā loģiska būtne. Tā ir dziļa maldīšanās. Es apgalvoju, ka cilvēks vispār nav loģiska būtne. Viņš ir psiholoģiska būtne. Viņu daudz lielākā mērā vada nevis loģiski, bet gan emocionāli apsvērumi. Bet emocijas aprakstīt mēs vēl neesam iemācījušies.

Bankovskis: Jūsu tonis liecina, ka uzskatāt, ka iemācīsimies.

Andžāns: Jā, noteikti. Bet šobrīd mēs to vēl nemākam. Es gribu vēl uzsvērt, ka tas, ka mēs iemācīsimies matemātiski aprakstīt emocijas, vēl nebūt nenozīmē, ka mēs tās pēc tam pakļausim kaut kādam aukstam loģiskam aprēķinam. Mēs taču esam iemācījušies aprakstīt bērna dzimšanu un atvieglināt dzemdības, bet tas nenozīmē, ka esam mazinājuši vecāku mīlestību un satraukumu, ar kādu viņi gaida bērnu. Mēs tikai mākam aprakstīt un līdz ar to zināmā mērā izvairīties no sarežģījumiem.

Bankovskis: Bet kas jums dod tādu apņēmību apgalvot, ka mēs, acīmredzot ar šo “mēs” saprotot cilvēci, iemācīsimies matemātiski aprakstīt emocijas?

Andžāns: Nu, apzvērēt jau es nevaru. Bet es skatos, cik maz cilvēce zināja pirms kādiem piectūkstoš gadiem, cik maz zināja vēl 19. gadsimta sākumā un cik maz, vēl kad es gāju skolā. Un cik šausmīgi daudz zina jau tagad. Un zinātniskās metodes atrod pielietojumu aizvien jaunās un jaunās sfērās, kur agrāk pat runas nevarēja būt par zinātnisku izpēti. Es neredzu iemesla, kāpēc lai šī viena sfēra — emocijas — būtu kaut kāds izņēmums. Nu nav pasaule tā uzbūvēta, ka viņā pēkšņi būtu kaut kādi tādi izņēmumi.

Bankovskis: Kā jūs tā varat apgalvot?

Andžāns: To man saka līdzšinējā cilvēces pieredze — līdz šim tādu izņēmumu nav bijis.

Bankovskis: Vai var sacīt, ka cilvēka matemātiskā vēlme ir uzmodelēt jebko?

Andžāns: Jebko, tas laikam tā gan nebūs. Jo jebko — tas nozīmētu arī — pašam sevi. Bet to nevarēs. Mēs taču varam spriest par sevi tikai tajā situācijā, kurā tobrīd esam, nevis — kurā bijām vai būsim. Un kā lai modelē to, kas vairs vai vēl nav, bet bez kā es neesmu es? Manuprāt, nekad neiestāsies tāds brīdis, kad viss būs nomodelēts. Tas ir apmēram tā, kā, ja mēs ejam pa naturālo skaitļu rindu: čip, čip, čip, čip — līdz jebkuram skaitlim mēs agri vai vēlu aizejam, bet nekad nepienāks tāds brīdis, kad būsim apstaigājuši visus skaitļus.

Bankovskis: Vai to spēj tikai Dievs?

Andžāns: Es domāju, ka arī Dievs nav spējīgs uzmodelēt visu. Laikam tomēr nav pamata sacīt, ka Dievs ir gan visspēcīgs, gan labs. Ja tā būtu, tad nebūtu visu to netaisnību un nejēdzību, kas pavada cilvēku viņa mūžā. Es savā pasaules uzskatā pieņemu, ka Dievs ir labs, bet nav visspēcīgs. Bet to nevar pierādīt. Es tā domāju, un viss.